Introduction aux Fonctions Numériques

Les fonctions numériques sont au cœur de l’analyse mathématique. Elles permettent de modéliser des situations variées en associant à chaque élément d’un ensemble de départ un unique élément d’un ensemble d’arrivée. La maîtrise des concepts liés aux fonctions est essentielle pour aborder des notions avancées en mathématiques et dans les sciences en général.

📘 Définitions clés

• Fonction : une fonction f associe à chaque élément x d’un ensemble de départ D un unique élément f(x).
• Domaine de définition : l’ensemble des valeurs de x pour lesquelles f(x) est défini.
• Image : valeur obtenue en appliquant la fonction : f(x).
• Antécédent : si f(a) = b, alors a est un antécédent de b.
• Continuité : une fonction est continue en un point si sa courbe ne présente pas de rupture.
• Dérivabilité : une fonction est dérivable en un point si elle admet une tangente (une dérivée) en ce point.

📐 Formules importantes

• Dérivée :
  • f(x) = xⁿ → f'(x) = n × xⁿ⁻¹
  • f(x) = e^x → f'(x) = e^x
  • f(x) = ln(x) → f'(x) = 1/x
• Règles de dérivation :
  • Somme : (f + g)’ = f’ + g’
  • Produit : (f × g)’ = f’ × g + f × g’
  • Quotient : (f/g)’ = (f’g − fg’) / g², si g(x) ≠ 0
• Primitives :
  • ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹ / (n+1) + C (si n ≠ −1)
  • ∫ e^x dx = e^x + C
  • ∫ 1/x dx = ln|x| + C

🧮 Exemples illustrés de fonctions numériques

Exemple 1 : dérivée d’une fonction polynomiale

Soit f(x) = 3x³ − 5x² + 2x − 7

Dérivée : f'(x) = 9x² − 10x + 2

Exemple 2 : primitive d’une fonction

Soit g(x) = 4x³

Une primitive est : ∫ g(x) dx = x⁴ + C

📝 Exercices pratiques avec solutions : fonctions numériques

Exercice 1 : Étude de la fonction h(x) = x²e^x

1. Déterminer h'(x)
2. Étudier le signe de h'(x) et les variations de h

Solution :

1. h'(x) = 2x × e^x + x² × e^x = e^x(2x + x²)
2. On étudie le signe de x² + 2x → racines : x = 0 ou x = −2
   h est décroissante sur ]−∞ ; −2], croissante sur [−2 ; 0], puis décroissante sur [0 ; +∞[

Exercice 2 : Calculer l’intégrale suivante :

∫ (3x² − 4x + 5) dx

Solution :

∫ (3x² − 4x + 5) dx = x³ − 2x² + 5x + C

🔗 Pour aller plus loin

👉 Cours complet au format PDF : Cours TS2 – Fonctions numériques (Sunumaths)

🎥 Vidéo explicative : Terminale S2 – Mathématiques : Fonction numérique / M. Boye